Naum Kleiman absolvierte 1961 die Filmhochschule VGIK in Moskau mit einem Abschluss in Geschichte und Theorie des Films. In den Jahren 1961 bis 1967 arbeitete er im Staatlichen Filmarchiv Gosfilmofond, wo er sich mit der Rekonstruktion von Eisensteins Filmen einschließlich der verbotenen Bezhin Wiese befasste. Seit 1962 ist er an der Veröffentlichung der Werke von Sergei Eisenstein beteiligt. Von 1967 bis 1989 war er Mitarbeiter des Eisenstein Forschungs- und Gedenkkabinetts der Union der Filmschaffenden der UdSSR, wo Veröffentlichungen, Retrospektiven der Filme, Ausstellungen von Zeichnungen des Regisseurs und Übersetzungen seiner Werke in viele Sprachen vorbereitet wurden. In den Jahren 1989-2014 war er Direktor des Staatlichen Zentralen Filmmuseums in Moskau. Seit 2013 ist er Chefredakteur der Zeitschrift Kinovedcheskie Zapiski (Filmwisschenschaftliche Notizen). Er ist Mitglied der Europäischen Filmakademie, der Akademie der Künste zu Berlin und Träger der Ehrendoktorwürde der Universitäten Nancy (Frankreich), Tiflis (Georgien) und der Filmuniversität Babelsberg KONRAD WOLF.